EQUAÇÃO GERAL DE GRACELI.

 G ψ = E ψ =  E [G+]....   =

G ψ = E ψ =  E [G+ψ ω /c] =   [/ ] /  /   = ħω [Ϡ ]  [ξ ] [,ς]   ψ μ / h/c ψ(x, t)  [x  t ]..

A Lei de Moseley é uma lei empírica obtida pela relação entre raios-X característicos dos átomos. É importante historicamente na justificação do modelo nuclear para o átomo, em que toda a carga positiva está contida no núcleo do átomo, e é associada ao seu número de elétrons. Na época de Moseley, o número atômico era apenas a posição do elemento na tabela periódica, sem significado físico.^[1]

História

Nas conversas com Niels Bohr em 1913, Moseley ficou interessado no modelo atômico de Bohr, em que o espectro de emissão eletromagnética dos átomos é proporcional à raiz quadrada de Z, ou seja, à carga elétrica no núcleo (que tinha sido descoberta dois anos antes). O modelo de Bohr tinha sido bem sucedido em demonstrar a fórmula empírica de Rydberg para o átomo de Hidrogênio, porém não conseguia explicar o espectro para os elementos mais massivos. Em particular, apenas dois anos antes, Rutherford em 1911, postulou que o Z para átomos de prata menos que a metade de sua massa e pouco tempo depois, Antonius van den Broek sugeriu que o valor de Z não era a metade da massa atômica, mas era exatamente o número atômico, ou a posição na tabela periódica. Até aquela época, não se conhecia qualquer significado físico para a posição do elemento na tabela periódica, com exceção da ordenação de algumas propriedades químicas.

Na maioria dos casos, a tabela periódica tende a ficar de acordo com a massa atômica, porém existem alguns casos famosos de átomos com número atômico maior e massa menos, como por exemplo o cobalto com massa 58,9 e Z=27 e o níquel de massa 58,7 e Z=28.

Como o espectro de emissão para átomos com Z altos estão na faixa dos raios-X moles (facilmente absorvidos pelo ar), Moseley precisou utilizar tubos de vácuo. Usando as técnicas de difração de raios-X, Moseley descobriu que as linhas de emissões mais intensas dos átomos eram intrinsecamente relacionadas com o número atômico Z.

Essa linha atualmente é conhecida como linha K-alfa. E finalmente Moseley descobriu que essa relação podia ser descrita por uma fórmula simples, que ficou conhecida como a Lei de Moseley.

${\displaystyle f=k_{1}\cdot (Z-k_{2})^{2}}$ / 

G ψ = E ψ =  E [G+]....  

Onde:

${\displaystyle f\ }$ é a frequencia de emissão da linha Kα

${\displaystyle k_{1}\ }$ and ${\displaystyle k_{2}\ }$ são constantes que dependem do tipo de linha

Por exemplo, os valores de ${\displaystyle k_{1}\ }$ e ${\displaystyle k_{2}\ }$ são os mesmos para todas as linhas ${\displaystyle K_{\alpha }}$ então a fórmula pode ser simplificada para:

${\displaystyle f=(2.47\times 10^{15})\cdot (Z-1)^{2}}$ Hz /

G ψ = E ψ =  E [G+]....  

Moseley escolheu mostrar a fórmula sem ${\displaystyle k_{1}\ }$ mais com um número constante puro, no estilo de Johannes Rydberg, deixando a constante como 3/4 (ou 1- 1/4) da frequência fundamental de Rydberg ((3.29*10¹⁵ Hz) para as linhas ${\displaystyle K_{\alpha }}$ e novamente para as linhas ${\displaystyle L_{\alpha }}$, ${\displaystyle k_{1}\ }$ ficou igual a 1/4 - 1/9 = 5/36 vezes a frequência de Rydberg, essa foi a forma que Moseley escolheu para escrever sua fórmula.^[2]

A constante empírica ${\displaystyle k_{2}\ }$ é dado pelo fit dos dados das linhas de emissão ${\displaystyle K_{\alpha }}$ e ${\displaystyle L_{\alpha }}$ Moseley obteve o valor (Z - 7.4)² para as linhas ${\displaystyle L_{\alpha }}$ e ${\displaystyle k_{2}\ }$ igual a 1 para as linhas ${\displaystyle K_{\alpha }}$.

Abaixo está a formulação original de Moseley (com os dois lados elevado ao quadrado para melhor clareza).

${\displaystyle f(K_{\alpha })=(3.29\times 10^{15})\cdot 3/4\cdot (Z-1)^{2}}$ Hz /

G ψ = E ψ =  E [G+]....  

${\displaystyle f(L_{\alpha })=(3.29\times 10^{15})\cdot 5/36\cdot (Z-7.4)^{2}}$ Hz /

G ψ = E ψ =  E [G+]....  

Derivação e justificativo do modelo de Bohr do núcleo atômico de Rutheford

Moseley deduziu sua fórmula empiricamente plotando a raiz quadrada das frequências de emissão de raios-x em função do número atômico, entretanto, sua dedução podia ser explicada em termos do modelo de Bohr (veja detalhes para a derivação para o átomo de Hidrogênio), se certos pressupostos razoáveis sobre a estrutura atômica dos outros elementos forem feitos, porém na época em que Moseley derivou sua lei, nem ele e nem Bohr conseguiu explicar a sua forma.

A fórmula empírica de Rydberg é explicada pelo modelo de Bohr através da descrição de transições ou saltos quânticos entre um nível de energia a outro no átomo de Hidrogênio. Quando um elétron salta de um nível energético para outro, um fóton é emitido. Usando a fórmula para diferentes níveis de energia, é possível determinar as energias, ou frequências que um átomo de Hidrogênio pode emitir.

A energia do fóton que um átomo de hidrogênio emite no modelo de Bohr, é dado pela diferença de energia entre dois níveis.

${\displaystyle E=h\nu =E_{i}-E_{f}={\frac {m_{e}q_{e}^{2}q_{Z}^{2}}{8h^{2}\epsilon _{0}^{2}}}\left({\frac {1}{n_{f}^{2}}}-{\frac {1}{n_{i}^{2}}}\right)\,}$ /

G ψ = E ψ =  E [G+]....  

(note que Bohr usou unidades de Planck em que ${\displaystyle \scriptstyle \epsilon _{0}=1/4\pi }$), e

${\displaystyle \scriptstyle m_{e}\,}$ = massa do elétron

${\displaystyle \scriptstyle q_{e}\,}$ = carga do elétron (1.602 × 10⁻¹⁹ coulombs)

${\displaystyle \scriptstyle n_{f}\,}$ = número quântico do nível final de energia

${\displaystyle \scriptstyle n_{i}\,}$ = número quântico do nível inicial de energia

Assume-se que o nível de energia final é menor do que o nível inicial.

Por exemplo, para o hidrogênio, a fórmula fica ${\displaystyle \scriptstyle q_{e}^{2}q_{Z}^{2}=q_{e}^{4}\,}$ por que o Z (a carga elétrica positiva no núcleo) é igual a 1, com isso, o núcleo de hidrogênio contém uma única carga. Assim, para o átomo de hidrogênio (onde o elétron pode ser descrito como uma nuvem esférica entorno do núcleo) Bohr percebeu que era necessário acrescentar uma quantidade adicional ao termo convencional ${\displaystyle \scriptstyle q_{e}^{4}}$ a fim de explicar a atração extra sobre o elétron, e portanto a energia extra entre os níveis quânticos.

Isso foi feito em 1914 quando Bohr conseguiu adaptar a fórmula de Moseley, através de duas definições. A primeira é de que o elétron responsável pela linha espectral mais brilhante (Kα), que Moseley tinha estudado para diversos elementos, era resultado da transição de um único elétron entre as camadas K e L do átomo (i.e., da camada mais próxima do núcleo para a segunda mais próxima), com números de energia quântica de 1 e 2. Finalmente, o Z, embora ainda na raiz quadrada, requer que seja subtraído 1 para calcular o Kα (Após a morte de Moseley, isso foi entendido como uma correção da conta devido a carga total do núcleo, menos um elétron que remanesceu na camada K, visto simplesmente como elétron 1s). Em todo caso, o termo (Z-1) requer que esteja em uma raiz quadrada para se ajustar aos dados empíricos, então a conta de Bohr para a fórmula de Moseley para a linha Kα fica:

${\displaystyle E=h\nu =E_{i}-E_{f}={\frac {m_{e}q_{e}^{4}(Z-1)^{2}}{8h^{2}\epsilon _{0}^{2}}}\left({\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{2^{2}}}\right)\,}$ /

G ψ = E ψ =  E [G+]....  

ou dividindo ambos os lados por h para converter E para f):

${\displaystyle f=\nu ={\frac {m_{e}q_{e}^{4}}{8h^{3}\epsilon _{0}^{2}}}\left({\frac {3}{4}}\right)(Z-1)^{2}=(2.47*10^{15}\ \mathrm {Hz} )(Z-1)^{2}\,}$ /

G ψ = E ψ =  E [G+]....  

Agrupando todos os termos constantes da fórmula em uma única, resulta em um termo de frequência equivalente a 3/4 da energia de ionização de 13,6 eV (veja constante de Rydberg para hidrogênio = 3.29 x 10¹⁵ Hz), como o valor final de 2.47 x 10¹⁵ Hz, uma boa aproximação com o valor obtido empiricamente por Moseley de 2.48 x 10¹⁵ Hz. Essa frequência fundamental é igual a linha alfa da série de Lyman para o hidrogênio, porque a transição 1s para 2p é responsável pela linha alfa de Lyman no hidrogênio e para as linhas Kα do espectro de raios-X para elementos acima do hidrogênio, Moseley tinha plena consciência de que sua frequência fundamental era a linha alfa de Lyman, que a frequência fundamental de Rydberg resultava de duas energias atômicas fundamentais, e por isso que a diferença do fator de Rydberg-Bohr era de exatamente 3/4.

Entretanto a necessidade da redução de Z por um número muito próximo de 1 para as linhas Kα dos elementos pesados, (acima do Alumínio) foi deduzida de forma totalmente empírica por Moseley, e não foi discutida de forma teórica em seus artigos, pois o conceito de camadas atômicas com pares de elétron ainda não tinha sido muito bem estabelecida em 1913 ( O assunto só ficaria mais claro por volta de 1920), e em particular o modelo de Schrödinger para as órbitas atômicas ainda não tinha sido formalmente introduzido, e ainda não foi totalmente entendido até antes de 1926.

Até o momento, Moseley foi enigmático com Bohr sobre o termo Z-1, Bohr pensava que a camada interna dos elétrons podia conter de 4 a 6 elétrons. Moseley por um tempo pensou que as linhas K eram resultados a transição simultânea de 4 elétrons da camada L para K, porém ele não se comprometeu a ponto de publicas essas ideias.

No que se refere as transições Lα, na visão moderna, associamos cada camada eletrônica com um número quântico n, onde cada camada contém 2n² elétrons, ou seja, se n=1, temos no máximo 2 elétrons, se n=2, 8 elétrons. O valor empírico de 7,4 obtido por Moseley para ${\displaystyle k_{2}}$ é associado a transição de n=2 para 3, e é chamada de transição Lα (não confundir com transição alfa de Lyman), e ocorre da camada M para L na notação de letras de Bohr. O valor de 7,4 é agora conhecido como um efeito de blindagem eletrônica do elétrons contidos nas camadas n=1 e 2 (ou camadas K e L).

A Lei de Planck para radiação de corpo negro exprime a radiância espectral em função do comprimento de onda e da temperatura do corpo negro.

${\displaystyle I(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{(e^{\frac {h\nu }{kT}}-1)}}}$ /

G ψ = E ψ =  E [G+]....  

A tabela seguinte descreve as variáveis e unidades utilizadas:

Variável	Descrição	Unidade
${\displaystyle I\,}$	radiância espectral	J•s−1•m−2•sr−1•Hz−1
${\displaystyle \nu \,}$	frequência	hertz
${\displaystyle T\,}$	temperatura do corpo negro	kelvin
${\displaystyle h\,}$	constante de Planck	joule / hertz
${\displaystyle c\,}$	velocidade da luz no vácuo	metros / segundo
${\displaystyle e\,}$	número de Euler	sem dimensão
${\displaystyle k\,}$	constante de Boltzmann	joule / kelvin

/

G ψ = E ψ =  E [G+]....  

O comprimento de onda está relacionado a frequência como (supondo propagação de uma onda no vácuo):

${\displaystyle \lambda ={c \over \nu }.}$/

G ψ = E ψ =  E [G+]....  

Pode-se escrever a Lei de Planck em termos de energia espectral:

${\displaystyle u(\nu ,T)={4\pi \over c}I(\nu ,T)={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}~{\frac {1}{(e^{\frac {h\nu }{kT}}-1)}}}$ /

G ψ = E ψ =  E [G+]....  

A energia espectral também pode ser expressa como função do comprimento de onda:

${\displaystyle u(\lambda ,T)={8\pi hc \over \lambda ^{5}}{1 \over (e^{\frac {hc}{\lambda kT}}-1)}}$ /

G ψ = E ψ =  E [G+]....  

Max Planck produziu esta lei em 1900 e a publicou em 1901, na tentativa de melhorar a expressão proposta por Wilhelm Wien que adequou dados experimentais para comprimentos de onda curtos desviados para comprimentos de onda maiores. Ele estabeleceu que a Lei de Planck adequava-se para todos os comprimentos de onda extraordinariamente bem. Ao deduzir esta lei, ele considerou a possibilidade da distribuição de energia eletromagnética sobre os diferentes modos de oscilação de carga na matéria. A Lei de Planck nasceu quando ele assumiu que a energia destas oscilações foi limitada para múltiplos inteiros da energia fundamental E, proporcional à freqüência de oscilação ${\displaystyle \nu }$ ^[1]:

${\displaystyle E={h\nu }}$ . /G ψ = E ψ =  E [G+]....  

Planck acreditava que a quantização aplicava-se apenas a pequenas oscilações em paredes com cavidades (que hoje conhecemos como átomos), e não assumindo as propriedades de propagação da Luz em pacotes discretos de energia. Além disto, Planck não atribuiu nenhum significado físico a esta suposição, mas não acreditava que fosse apenas um resultado matemático que possibilitou uma expressão para o espectro emitido pelo corpo negro a partir de dados experimentais dos comprimentos de onda. Com isto Planck pôde resolver o problema da catástrofe do ultravioleta encontrada por Rayleigh e Jeans que fazia a radiância espectral tender ao infinito quando o comprimento de onda aproximava-se de zero, o que experimentalmente não é observado. É importante observar também que para a região do visível a fórmula de Planck pode ser aplicada pela aproximação de Wien e da mesma forma para temperaturas maiores e maiores comprimentos de onda podemos ter também a aproximação dada por Rayleigh e Jeans.

Em física, a lei de Rayleigh-Jeans, primeiramente proposta no início do século XX, com o objetivo de descrever a radiação espectral da radiação eletromagnética de todos os comprimentos de onda desde um corpo negro a uma temperatura dada. Expressa a densidade de energia de um radiação de corpo negro de comprimento de onda λ como^[1]

${\displaystyle f(\lambda )=8\pi k{\frac {T}{\lambda ^{4}}}}$ /

G ψ = E ψ =  E [G+]....  

também sendo escrita na forma

${\displaystyle B_{\lambda }(T)={\frac {2ckT}{\lambda ^{4}}}}$ /

G ψ = E ψ =  E [G+]....  

onde λ está em metros, c é a velocidade da luz, T é a temperatura em Kelvins, e k é a constante de Boltzmann.

A lei é derivada de argumentos da física clássica. Lord Rayleigh obteve pela primeira vez o quarto grau da dependência do comprimento de onda em 1900; uma derivação mais completa, a qual incluia uma constante de proporcionalidade, foi apresentada por Rayleigh e Sir James Jeans em 1905. Esta agregava umas medidas experimentais para comprimentos de onda. Entretanto, esta predizia uma produção de energia que tendia ao infinito já que o comprimento de onda se fazia cada vez menor. Esta idéia não se sustentava pelos experimentos e a falta se conheceu como a "catástrofe ultravioleta"; entretanto, não foi, como as vezes se afirma nos livros-texto de física, uma motivação para a teoria quântica.

A lei concorda com medições experimentais para grandes comprimentos de onda mas discorda para comprimentos de onda pequenos.

Em 1900 Max Planck revisou a lei, obtendo uma lei um tanto diferente, a qual estabeleceu:

${\displaystyle f(\lambda )=8\pi hc{\frac {\lambda ^{-5}}{e^{\frac {hc}{\lambda kT}}-1}}}$ /

G ψ = E ψ =  E [G+]....  

que pode ser escrita também na forma

${\displaystyle B_{\lambda }(T)={\frac {2c^{2}}{\lambda ^{5}}}~{\frac {h}{e^{\frac {hc}{\lambda kT}}-1}}}$ /

G ψ = E ψ =  E [G+]....  

onde h é a constante de Planck e c é a velocidade da luz. Esta é a Lei de Planck expressa em termos de comprimento de onda λ = c /ν. A lei de Planck não sofre de uma "catástrofe ultravioleta", e assim de acordo com os dados experimentais, mas seu pleno significado só se apreciaria vários anos mais tarde. No limite de temperaturas muito altas ou grandes comprimentos de onda, no termo exponencial se converte no pequeno, pelo que o denominador se converte em aproximadamente hc / kT λ série de potências de expansão. Isto lhe dá o nome de Lei de Rayleigh-Jeans.

A fórmula

Primeira tentativa de calcular a densidade de energia dentro da caixa, derivada do teorema da equipartição termodinâmica, usando a lei de distribuição de modo normal obtida do eletromagnetismo clássico multiplicada pela energia média dos modos vibracionais:^[2]

As duas teorias utilizadas, eletromagnetismo e termodinâmica estatística, foram amplamente testadas e amplamente aceitas na física da época. Jeans mais tarde fez uma pequena correção relacionada ao fator 8, que foi causado por um erro no cálculo de Rayleigh do número de estados.

A lei de distribuição resultante passou a ser chamada de distribuição Rayleigh-Jeans.

Embora a distribuição obtida utilize uma teoria bem testada e completamente confiável, seus resultados são corretos apenas na faixa de baixas frequências.

Para o limite oposto, a distribuição Rayleigh-Jeans apresenta resultados completamente inconsistentes, produzindo densidade de energia e, portanto, emissividade espectral divergente com frequência crescente.

O número de modos de vibração eletromagnética no interior de uma caixa quadrada com dimensões iguais a ${\displaystyle I}$, no intervalo de frequências entre ${\displaystyle \nu }$ e ${\displaystyle \nu }$ e ${\displaystyle \nu +d\nu }$, é dado por ${\displaystyle N(\nu )d\nu }$.

${\displaystyle {N(\nu )d\nu ={\frac {8\pi l^{2}\nu ^{2}}{c^{3}}}d\nu }}$ /G ψ = E ψ =  E [G+]....  

Nesta equação, deve-se notar que a existência de volume é expressa como o cubo da caixa tamanho l.

O número de estados eletromagnéticos depende dessa quantidade, embora a densidade de estados, formalmente o número de estados dividido pelo volume, não seja.

A energia média de cada modo vibracional eletromagnético é dada pelo teorema da equipartição, que é o resultado da seguinte integração, assumindo equilíbrio térmico e um contínuo de valores possíveis para a energia:

${\displaystyle <E>={\frac {\int _{0}^{\infty }\varepsilon e^{-\varepsilon /kT}d\varepsilon }{\int _{0}^{\infty }e^{-\varepsilon /kT}d\varepsilon }}}$ /G ψ = E ψ =  E [G+]....  

A equação apresenta bom comportamento, reproduzindo qualitativa e quantitativamente os resultados experimentais na região de baixa frequência. No entanto, na região de alta frequência, a equação produz resultados absurdos, sugerindo uma contradição teórica, pois nessa região a densidade de energia é assintoticamente infinita.

O resultado, conhecido como catástrofe do ultravioleta, sugere que uma das teorias usadas para desenvolver a equação, é conhecida como eletromagnetismo ou teorema da equipartição.^{[necessário esclarecer]}

Descrição clássica

Como exemplo mais simples de um corpo radiante, tem-se o oscilador harmônico linear de frequência própria ${\displaystyle \nu }$.^[3]

Para este oscilador, pode-se determinar a energia radiada por segundo; sendo esta radiação equivalente à radiação emitida por um dipolo oscilante a qual é dada pela equação:

${\displaystyle \mu \nu ={\frac {8\pi \nu ^{2}}{c^{3}{}}}\varepsilon }$ /G ψ = E ψ =  E [G+]....  

onde ${\displaystyle \varepsilon }$ é a energia média dos osciladores. Pela lei de equipartição de energia, é possível chegar a este valor de energia, dado na equação:

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{\beta }}=kT}$ /G ψ = E ψ =  E [G+]....  

onde ${\displaystyle k}$ é a constante de Boltzmann e ${\displaystyle T}$ é a temperatura. Substituindo o valor de na equação de ${\displaystyle \mu \nu }$, obtém-se:

${\displaystyle \mu \nu ={\frac {8\pi \nu ^{2}}{c^{3}{}}}kT}$ /G ψ = E ψ =  E [G+]....  

Entretanto, por essa lei, o aumento da frequência implica em aumento da energia radiante até que lim ν → ∞ ⇒ μν → ∞. Esta incoerência ficou conhecida como catástrofe do ultravioleta.